揩ﾆは数連続体に就いての公理に外ならない。幾何学的要素――それは数ではない――そのものの連続を云い表わす公理ではなかった。然るに位置解析が基く連続の公理は幾何学的要素そのものの連続を定立する処のものでなければならない。であるから位置解析は連続の公理に基く為めに却って質的幾何学であることが明らかとなる。ポアンカレの如きは之を唯一の質的幾何学と考えた（射影幾何学に於て連続の公理を許すか許さぬかはこの考察を利用して決定出来る――前を見よ）。それでは二つの質的幾何学、射影幾何学と位置解析、との間にはどういう区別があるか。まず位置解析は如何なる幾何学にも益して根源的であると考えられる（〔Ｐｏｉｎｃａｒｅ'，　Ｒ．　Ｃａｒｎａｐ，　Ｏ．　Ｂｅｃｋｅｒ，　ｅｔｃ．　ｅｔｃ．〕）。然るに射影幾何学も亦根源的と考えられなければならない理由がある（田辺元博士、幾何学の論理的基礎、Ｒｕｓｓｅｌｌ，　ｅｔｃ．　ｅｔｃ．）。何れが根源的であるかを決定することは困難であると思う。私は別の見方からして両者の区別を見出したい。射影幾何学の公理は要素の関係を与えると同時に要素そのものを生産する。公理とは　〔ｄｅ'ｆｉｎｉｔｉｏｎ　ｄｅ'ｇｕｉｓｅ'ｅ〕　である。二つの点が一つの線を決定するという公理は、点と線との関係を与えると同時に、点及び線の定義でもある、即ち点及び線を生産する力を持っている。即ち射影幾何学の凡ゆる要素は射影幾何学自身が構成したものであって他から与えられた［＃「与えられた」に傍点］ものではない。例えば或る与えられた面に就いてその射影幾何学的性質を論じようとすることは不可能である。何となれば構成された要素でないものは射影幾何学の対象とはならないからである。処が位置解析に於ては定立されているのは要素の連続だけであってそれによっては種々なる要素――曲線とか立体とかいう――は生産されない。このような対象は何処からか与え［＃「与え」に傍点］られなければならない。之が与えられて始めて之に就いて新に諸々の公理――　Ｅｘｉｓｔｅｎｔｉａｌａｘｉｏｍｅ，　Ｚｅｒｌｅｇｕｎｇｓａｘｉｏｍｅ　等（〔Ｄｅｈｎ，　Ｔｏｐｏｌｏｇｉｅ；　ｉｎ　Ｐａｓｃａｌｓ　Ｒｅｐｅｒｔｏｒｉｕｍ　ｄ．　ｈｏ：ｈｅｒｅｎ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｋ．〕　参照）――が提出される縁を得るわけである。それでは対象が与えられるとは何を意味するか。それが経験から来るか又は純粋直観から来るか或いは又何か他のものから来るかは問題の外として、与えられるとは公理によって生産される処の要素乃至対象に他の要素乃至対象が偶然付加されるということに外ならない。今位置解析に於て連続の公理によって生産される処の対象は空間の連続であると云うことが出来るであろう。それでは之に偶然付加されるものとは何か。それは空間内の任意の個体としての［＃「個体としての」に傍点］図形であると思う。位置解析に於ては対象として任意の個体としての図形が与えられているのである。結合（Ｋｏｎｎｅｘｕｓ）というような概念は一つの図形に於て、而も他とは独立な個体としての図形に就いてのみ許されるものである。射影幾何学は空間一般の関係を論じると云ってよいが、空間一般の関係と云っても図形を離れて之を攫むことは出来ない。併しこの図形は一般的な関係の一例として構成されるのであって、決して個体としての独立性を有っているのではない。一つの対象が二つに切り離されるということは射影幾何学に於ては無意味と云わねばならぬ。それ故与えられるとは個体が与えられるのである。位置解析はこのような意味での図形に関係し、之に反して射影幾何学は空間そのものに関係すると云うことが出来るであろうと思う。さて幾何学の対象が空間であることを仮定するとすれば、空間と空間内の図形との区別に基くこの区別、射影幾何学と位置解析との区別は、あらゆる幾何学的対象に就いて見出されるべき最も根本的な区別でなくてはならぬ。であるから位置解析的であるか否かが幾何学の分類の最も本質的な標準である。質的か量的かの問題はその後始めて起こる。もし或る幾何学が位置解析に属すとすればそれは質的であり、もしそれが位置解析に属さないとすれば、計量を含まぬ時は質的であり計量を含む時は量的となる。幾何学は略々このようにして分類出来るのではないかと考える。

　　　二

　私は量的幾何学を借りて幾何学に於ける数の権利を検べて見たい。数の算法の体系ともいうべき代数が屡々幾何学の図形に応用され又図形が代数の問題の解決に補助手段を与えるということは誰しも知っている。代数と幾何学とはこのように密接に関係しているのであるが、少くとも図形が代数に応用される点は今の問題とは縁がない。反対に代数が図形に応用されるとは如何いう意味に於てであるか。例えば代数的方程式によって幾何学的図形に関する解決を求めるとき、吾々はその方程式の幾つかの根の内で恐らくその一部のものを意味あるものとして採用し他のものを意味のないものとして捨てるであろう。即ち代数的方程式はこの場合それ自身では与り知らない或る外的条件によって制限されていなければならぬ。それ故之は単なる応用に過ぎない。応用とは自らの原理以外の原理によって支配されることをいう。今一つの二元一次方程式を考えるのに、この解法は不定なのであるから、之を応用して図形の問題を解くことは出来ない。然るに同じ方程式も解析幾何学に於ては直線の方程式となる。即ち解析幾何学の方程式は一般にある図形を意味する。之は少くとも向の単なる応用と同じではない。併しそれにも関らず、図形を意味する方程式の一定の形、即ち変数と常数との一定の結合はその原理を矢張り代数的方程式以外に求める外はない。それ故之とても代数の一種の応用――前の定義に従って――と見なければならない。クルノーが詳しく指摘しているように解析幾何学は代数そのものによっては尽すことの出来ない或る特異なものを条件として含んでいる、ということをもはやこれ以上説明する余地はないと思う（〔Ｃｏｕｒｎｏｔ，　Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄａｎｃｅ　ｅｎｔｒｅ　ｌａ　Ｇｅ'ｏｍｅ'ｔｒｉｃ　ｅｔ　ｌ'Ａｌｇｅ｀ｂｒｅ〕）。代数と解析幾何学との関係を成り立たせている問題は寧ろ座標の中に潜んでいる。座標は一般に数と空間との、云い換えれば数値と点との一対一の対応である。解析幾何学に於ては特に座標は一つの数値と一つの点との一対一の対応となる。今このような対応関係が如何にして可能となるかという問題には触れぬとしても、その事実上の根拠は少くとも、数の連続と点の連続とが一致するということにある。云い換えれば連続という要素関係――　Ｔｙｐｕｓ　――に於て数と空間とが同一となるという処にある。更に云い換えれば連続に於て数も空間も或る意味で完備する（〔ｖｏｌｌｓｔａ：ｎｄｉｇ〕）という点にある。このように考えると数と空間とは少くとも連続という概念に於ては全く区別が出来ないと云わねばならぬ（私は空間という言葉を何の用意もなく用いて来ているが、之と幾何学との関係をまだ何処にも与えていないから、之はまだ意味の不定な言葉に止っているということを忘れてはならぬ）。然るに連続とは系列の有つ一つの型（Ｔｙｐｕｓ）に外ならない。それ故立ち入って云うならば数の系列と点の系列とが連続という型を共有するということである。この事実に基いて数の系列と点の系列とが対応する。これが座標の意味に外ならない。それでは解析幾何学の座標と――それは点系列の体系である――数の系列の体系とは同一であるのか。否。リーマンがかの有名な就職論文（Ｕｅｂｅｒ　ｄｉｅ　Ｈｙｐｏｔｈｅｓｅｎ，　……）に於て解析幾何学の対象を一般に「ｎ次の多様」と考えたが、彼によればこの次元は　〔Ｖｅｒａ：ｎｄｅｒｌｉｃｈｋｅｉｔ〕　に外ならないから、一次元は変数の一系列に外ならない。それ故「ｎ次の多様」とは変数のｎ個の系列の総体そのものである。処がもし系列のこの総体が数そのものの要求する系列体系と同一であると仮定すれば恐らくそれは実数と虚数とのかの関係――複素数の概念――でなければならぬ。然るに複素数の概念を如何に拡張するにしても実数と虚数との間には等方性の関係は成り立たない。二点間の距離［＃式（ｆｉｇ４３２６３＿０４．ｐｎｇ）入る］は横にするも縦にするも変りはないが［＃式（ｆｉｇ４３２６３＿０４．ｐｎｇ）入る］と［＃式（ｆｉｇ４３２６３＿０５．ｐｎｇ）入る］とは等しくない。のみならずｎは任意の自然数であるが、数系列の体系が任意の次元に拡張され得るか否かに就いては多くの疑問が残されていると思う。それ故リーマンの「ｎ次の多様」と数系列の体系とは同一ではない。即ち解析幾何学の対象は数体系によっては尽すことの出来ない特異なものを含んでいることは否定出来ないこととなる。このことは幾何学の計量に於て発見される処の絶対的な単位の存在によって徹底的に証明されるであろう。ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学とに於て三角形の内角の和は云うまでもなく同一ではない。併し同一でないためには角の計量の単位が共通でなければならない。かかる共通の単位はπであることを何人も知っている。然るにπを直径と円周との比――円周率――と定義するのであってはそのような計量関係は何れの幾何学に於ても同一であるとは云えない。事実ユークリッド幾何学の円周率と非ユークリッド幾何学の夫とは異っている。凡そπを角以外の計量関係の上に基ける以上それは決して共通とは云えなくなる。共通であるためには角そのものの上に基く必要がある。πとは平角である。然るに平角は直線の概念と共に絶対的であることを注意しなければならない。即ち角の計量に於て計量にとっては一つの偶然なものとして、云い換えれば計量はするが併し決して計量されない処の或るものとして平角が与えられるのである。勿論角そのものは計量される――数によって量られる――が計量の根拠となるものが再び角自身でなくてはならぬ。茲に角そのものと計量そのものとの、即ち角と数系列との、独立が云い現わされている。角を含む幾何学的対象は数体系から独立である。長さの単位の絶対に就いて最後に一言しよう。例えばリーマンの幾何学に於ては直線は有限である。それ故有限なる直線そのものが長さの計量の単位となることが出来る。之は一定の空間曲率によって代表される。素より空間曲率一般は純粋に解析的に定義されなければならぬであろう。併しそれが長さの絶対的単位となるためにはもはや空間曲率一般ではなくして、或る一定の値を持った夫であることを予想しなければ無意味になって了う。言い換えればこの絶対的単位とは数系列に於ける此又は彼の一定の数値を指定することである。然るにこのような絶対性、数系列にとっての偶然性は何を意味するか。それは空間曲率という数体系からは独立の要素が幾何学に於て欠くことの出来ないものであることを最も直截に物語っている。さて私は解析幾何学に於ける数の権利を決定した。それによれば数は解析幾何学の内容を尽すことは出来ない。已に解析幾何学に於てすら数の権利は否定的なのであるからして一般に幾何学なるものの内容が数に還元され得ないことは明白である。リーマンの「ｎ次の多様」や所謂　Ｌｅｈｒｅ　ｖｏｎ　ａｕｓｇｅｄｅｈｎｔｅｎ　Ｍａｎｎｉｇｆａｌｔｉｇｋｅｉｔ（Ｋｌｅｉｎ　を見よ）の内容が縦え幾何学的表象から全く自由であるとしても数以外のものから来る原理的な制約によって条件づけられてあることを見逃すことは出来ない。之が今の場合の結論である。又私はこの結論から更に次のように推論することも出来る、故に量的幾何学は幾何学に固有なものの本質をば必ずしも直接には示さない、従って質的幾何学を考察することの方がより便宜であり又より確実である、と。之によって何故に幾何学を解析的に分類することが非本質的であるかという劈頭の問題も自ら解決されるのである（一を見よ）。
　然るに茲に一つの疑問が残されている。数の権利とは云うが私の取り扱った処の数は、吾々が定義することなく
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