盾せねばならぬ。のみならず、仮設によってＢとＣとは異る筈であるのに、（一）［＃「（一）」は縦中横］と（四″）［＃「（四″）」は縦中横］とからしてＢ≡Ｃでなければならなくなって、茲にも矛盾が生じて来る。即ちこの変換は（１′）［＃「（１′）」は縦中横］を不変のまま残さぬと共に又変換の結果をも矛盾に陥れて了う。以上のことは次のことを云い表わしている、「要素ＡＢＣを含む公理体系がＡとＣとの交換によって不変であるためには」少くとも（１′）［＃「（１′）」は縦中横］のような公理体系を選んではならない、且つ少くとも（１）［＃「（１）」は縦中横］を選べば充分である、と。云い換えれば括弧内の条件はＡＢＣの公理体系を選ぶ標準に外ならない。今Ａを点、Ｂを直線、Ｃを平面とすれば、括弧内の条件は点と平面との双関性（〔Ｄｕａｌｉｔａ：ｔ〕）となる。それ故双関性は幾何学の公理体系を選ぶ時に必要な標準――少くともその一例――であることが明らかになる。一般的に云えば幾何学者の任意も特定の公理を特定の仕方に於て選ぶ限りに於て許されるに過ぎない。この特定という関係が偶々――その根拠は後で与える――公理を経験乃至直観に由来するものと考えさえ又要素を経験的な乃至は直観的な内容あるものと思わせたのである。幾何学には単なる任意によっても尽されない処の固有なもの――幾何学的なるもの――がある。茲に任意とは論理的矛盾を含まぬこと、云い換えれば思惟の可能性を意味する。故に幾何学的なるものは思惟の可能性に対する或る種の制限を云い表わす。幾何学はそれ故思惟によっては尽すことの出来ない何物かを持っているという結論に私は到着することとなる。
思惟は幾何学に於て思惟ならぬ或るものに逢着することが明らかとなった。思惟ならぬもの、之を私は一般に直観と定義する。幾何学の基礎には直観がなければならぬこととなる。然るに凡ゆる要素体系――数学の対象一般――には同じ意味で直観が潜んでいると想像出来る。もしそうでなくして直観はただ幾何学にだけ特有のものとすれば問題はない。今仮りに幾何学以外の要素体系の凡てか又はその一部分のものの基礎に直観が潜んでいるとする。そうすれば幾何学の基く直観は他の要素体系の基く直観とは少くとも異っていなくてはならない。何となれば幾何学は他の要素体系には決して属すことが出来ないということを私はすでに証明して置いたの
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