幾何学と空間/戸坂潤

揩ﾆは数連続体に就いての公理に外ならない。幾何学的要素――それは数ではない――そのものの連続を云い表わす公理ではなかった。然るに位置解析が基く連続の公理は幾何学的要素そのものの連続を定立する処のものでなければならない。であるから位置解析は連続の公理に基く為めに却って質的幾何学であることが明らかとなる。ポアンカレの如きは之を唯一の質的幾何学と考えた（射影幾何学に於て連続の公理を許すか許さぬかはこの考察を利用して決定出来る――前を見よ）。それでは二つの質的幾何学、射影幾何学と位置解析、との間にはどういう区別があるか。まず位置解析は如何なる幾何学にも益して根源的であると考えられる（〔Ｐｏｉｎｃａｒｅ'，　Ｒ．　Ｃａｒｎａｐ，　Ｏ．　Ｂｅｃｋｅｒ，　ｅｔｃ．　ｅｔｃ．〕）。然るに射影幾何学も亦根源的と考えられなければならない理由がある（田辺元博士、幾何学の論理的基礎、Ｒｕｓｓｅｌｌ，　ｅｔｃ．　ｅｔｃ．）。何れが根源的であるかを決定することは困難であると思う。私は別の見方からして両者の区別を見出したい。射影幾何学の公理は要素の関係を与えると同時に要素そのものを生産する。公理とは　〔ｄｅ'ｆｉｎｉｔｉｏｎ　ｄｅ'ｇｕｉｓｅ'ｅ〕　である。二つの点が一つの線を決定するという公理は、点と線との関係を与えると同時に、点及び線の定義でもある、即ち点及び線を生産する力を持っている。即ち射影幾何学の凡ゆる要素は射影幾何学自身が構成したものであって他から与えられた［＃「与えられた」に傍点］ものではない。例えば或る与えられた面に就いてその射影幾何学的性質を論じようとすることは不可能である。何となれば構成された要素でないものは射影幾何学の対象とはならないからである。処が位置解析に於ては定立されているのは要素の連続だけであってそれによっては種々なる要素――曲線とか立体とかいう――は生産されない。このような対象は何処からか与え［＃「与え」に傍点］られなければならない。之が与えられて始めて之に就いて新に諸々の公理――　Ｅｘｉｓｔｅｎｔｉａｌａｘｉｏｍｅ，　Ｚｅｒｌｅｇｕｎｇｓａｘｉｏｍｅ　等（〔Ｄｅｈｎ，　Ｔｏｐｏｌｏｇｉｅ；　ｉｎ　Ｐａｓｃａｌｓ　Ｒｅｐｅｒｔｏｒｉｕｍ　ｄ．　ｈｏ：ｈｅｒｅｎ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｋ．〕　参照）――が提出される縁を得るわけである。それでは対象が与えられるとは何を意味す�

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