字］ｐａ［＃「ａ」は下付き小文字］）
［＃ここで字下げ終わり］
となる。そしてこの方程式の根は極大を示し、極小を示さない。けだし、函数　Φ'ａ，１［＃「ａ，１」は下付き小文字］（ｑ）　すなわち　φａ，１［＃「ａ，１」は下付き小文字］（ｑ），　Φ'ｂ，１［＃「ｂ，１」は下付き小文字］（ｑ）　すなわち　φｂ，１［＃「ｂ，１」は下付き小文字］（ｑ）　は本質的に減少函数であるから、第二次導函数
［＃ここから４字下げ］
φ'ａ，１［＃「ａ，１」は下付き小文字］（ｄａ［＃「ａ」は下付き小文字］）＋ｐ２［＃「２」は上付き小文字］ａ［＃「ａ」は下付き小文字］φ'ｂ，１［＃「ｂ，１」は下付き小文字］（ｑｂ［＃「ｂ」は下付き小文字］−ｄａ［＃「ａ」は下付き小文字］ｐａ［＃「ａ」は下付き小文字］）
［＃ここで字下げ終わり］
は必然的に負であるからである。
　八三　右に与えた私の証明は、欲望曲線の連続を前提とする。だが我々は、欲望曲線が不連続である場合をも研究せねばならぬ。厳密にいえば、これらの場合には、（一）連続曲線をもつ商品と不連続曲線をもつ商品との交換、（二）不連続曲線をもつ商品と連続曲線をもつ商品との交換、（三）不連続曲線をもつ商品と、同じく不連続曲線をもつ商品との交換の三箇の場合があり得よう。けれども、後に明らかにするように、我々はすべての商品の価値をその価値と関係せしめそしてすべての商品を購い得る商品、従って連続的な欲望曲線をもち得るしもたねばならぬ所の一つの商品を選ぶのであるから、第一の場合だけを研究すればよい。
　常例により、（Ｂ）の所有者（１）に対する（Ｂ）の利用曲線を　βｒ，１［＃「ｒ，１」は下付き小文字］βｑ，１［＃「ｑ，１」は下付き小文字］（第三図）とし、この人が所有する（Ｂ）の量を　ｑｂ［＃「ｂ」は下付き小文字］　とする。そして点　ａ　及び　ａ'''　を通る階段形の曲線を、この交換者に対する（Ａ）の利用曲線であるとする。（Ａ）は単位ずつによってしか買い得られないのであるから、そして　ｐａ［＃「ａ」は下付き小文字］　は（Ｂ）で表わした（Ａ）の価格であるから、（Ｂ）は　ｐａ［＃「ａ」は下付き小文字］　に等しい量によってしか売られない。もし長さ　ｄａ［＃「ａ」は下付き小文字］ｄ''ａ［＃「ａ」は下付き小文字］　及び　ｄａ［＃「ａ」は下付き小文字］ｄ'''ａ［＃「ａ」は下付き小文字］　がそれぞれ（Ａ）の買われた最後の単位と買われない最初の単位とを表わし、また長さ　ｙｙ''　及び　ｙｙ'''　がそれぞれ（Ｂ）の売られた最後の量と売られない最初の量とを表わすものとすれば、交換者が最大満足を得るときには、次の二つの不等式が成り立つ。
［＃ここから４字下げ］
面積　ｙｙ''β''β＜ｄａ［＃「ａ」は下付き小文字］ａ
面積　ｙｙ'''β'''β＞ｄ'''ａ［＃「ａ」は下付き小文字］ａ'''
［＃ここで字下げ終わり］
　今　ｍ''　と　ｍ'''　とで、それぞれ　ｙβ　と　ｙ''β''　との中間の長さ及び　ｙβ　と　ｙ'''β'''　との中間の長さを表わすこととすれば、これらは、それぞれ（Ｂ）の売られた最後の量の利用の平均強度及び売られない最初の量の利用の平均強度を示す。これらに
［＃ここから４字下げ］
ｙｙ''＝ｙｙ'''＝ｐａ［＃「ａ」は下付き小文字］
［＃ここで字下げ終わり］
を乗ずれば、それぞれ　ｙｙ''β''β　及び　ｙｙ'''β'''β　に等しい二つの面積が得られる。そこで相合して（Ａ）の需要すなわち　ｄａ［＃「ａ」は下付き小文字］　を決定する二つの不等式を次の形に立てることが出来る。
［＃ここから４字下げ］
ｄａ［＃「ａ」は下付き小文字］ａ＝ｐａ［＃「ａ」は下付き小文字］ｍ''＋ε''
ｄ'''ａ［＃「ａ」は下付き小文字］ａ'''＝ｐａ［＃「ａ」は下付き小文字］ｍ'''−ε'''
［＃ここで字下げ終わり］
これら二つの方程式から、容易に次の結果を導き出すことが出来る。
［＃ここから４字下げ］
［＃式（ｆｉｇ４５２１０＿０４４．ｐｎｇ）入る］
［＃ここで字下げ終わり］
ところで、ｍ''＋ｍ'''　は　２ｙβ　に極めて近い量であり、かつ［＃式（ｆｉｇ４５２１０＿０４５．ｐｎｇ）入る］ははなはだ小さい量である。故に容易に
［＃ここから４字下げ］
［＃式（ｆｉｇ４５２１０＿０４６．ｐｎｇ）入る］
［＃ここで字下げ終わり］
が得られる。
　よって、連続的欲望曲線をもつ商品と不連続的欲望曲線をもつ商品との交換の場合において［＃「連続的欲望曲線をもつ商品と不連続的欲望曲線をもつ商品との交換の場合において」に傍点］、最大満足が現われるときには［＃「最大満足が現われるときには」に傍点］、買われた商品の充された最後の欲望の強度と充されない最初の欲望の強度との平均の［＃「買われた商品の充された最後の欲望の強度と充されない最初の欲望の強度
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