めに幾何学なるものの概観を得ることが必要と思われる。恐らく幾何学には無限の種類があるかも知れない。併し何れも幾何学なる名に於て統一されている以上それを一貫する何ものかがあってそれがその区別を与えているのでなければならぬ。吾々は之を攫むことによって幾何学を分類することが出来る筈である。クラインによれば凡ての幾何学は夫々或る一定の形を持った変換に対して不変に残されるものの不変量理論（Ｉｎｖａｒｉａｎｔｅｎｔｈｅｏｒｉｅ）と考えられるが、クラインは之を解析的に云い表わすことによって幾何学の分類を与えようとした。
例えば類同幾何学は
［＃ここから３字下げ］
［＃式（ｆｉｇ４３２６３＿０１．ｐｎｇ）入る］
［＃ここで字下げ終わり］
なる類同変換に関する不変量理論であり、又射影幾何学は
［＃ここから３字下げ］
［＃式（ｆｉｇ４３２６３＿０２．ｐｎｇ）入る］
［＃ここで字下げ終わり］
なる射影的変換に関する夫である。これらの変換は夫々一つの変換群をなすのであるから一般的に云う時各々の変換群に対して一つずつの幾何学が成り立つわけである。即ち解析に訴えることによって更に又群の概念を借りることによって吾々
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