幾何学と空間/戸坂潤

ｐｒｏｐｅｒｔｙ　とは性質が異るが――を決定するものが平行線公理に外ならない。平行線公理は一見計量とは無関係であるかのように見えるのであるが、それへ計量に基く公理――例えばアルキメデス公理――を付加することによってそれが計量関係を支配する――例えば三角形の内角の和は二直角であるか否か――、という意味に於て計量と関係を持たずにはいられない公理である。結合や順序の公理に於ては全く場合が異るのを思い起こせばこの意味は明らかとなるであろう。平行線公理がこの意味に於ては計量的である所以は更に平行線公理と空間曲率との関係に於ても現われる。平行線公理に曲率という計量的概念を付与すると否とは自由であるが、一旦この概念を付与した以上、平行線公理は曲率の値をある意味に於て決定しなければならぬものである。一言にして云えば平行線公理［＃「平行線公理」に傍点］は直角とか曲率とかいう角又は線の計量の絶対的な単位に関係するものである。さて射影幾何学と計量幾何学とを区別せしめたかの三つの公理群は何れも計量を云い表わす公理に外ならないことが明らかとなった。それ故私は一歩を進めて幾何学をば、公理に従って分類するよりも寧ろ公理に含まれる根本的な予想に従って分類することに思い至らなければならない。計量を含む幾何学――所謂計量幾何学即ち座標幾何学は少くともその一部分である――を一般に量的［＃「量的」に傍点］幾何学と名づけ、之に反して計量を含まぬ幾何学を一般に質的［＃「質的」に傍点］幾何学と名づける。かくて私は始めて本質的な分類を得ると思う。何となれば幾何学が質的であるか量的であるかはそれが本質的であるか本質的でないかの問題となることをやがて吾々は知るであろうから。

　幾何学の分類に就いてまだ一つの重大な問題が残されている。私は之に到達することを試みよう。まず注意すべきはライプニツがその「位置解析」という項に於て、代数は合同を即ち量を、之に反して位置解析は類同を即ち形を、従って又質を論じる数学であると述べ、「このような考え方は新しい計算法を示すものである」と云っていることである。それはライプニツによれば「代数的計算とは全く別のものであり、又その記号に於てもその応用とその算法に於ても全く新しいものである。」彼は之を位置の解析と名づけた。「何となればそれは直接に位置を云い表わし、而も形を実際に画くことなくして記号を用いて精神上之を写し、感性的な直観がただ経験的に知る処のものをば正確な計算と証明法とによって符号を用いて導き出すものなのであるから」（Ｈａｕｐｔｓｃｈｒｉｆｔｅｎ　Ｌｅｉｂｎｉｚｅｕｓ，　Ｉ．　Ｓ．　７６）。ライプニツのこの理念が数学的に発展される時どういう形を取るべきであるかはこの場合まだ明らかではないが、少くとも茲に代数的或いは量的という意味が座標的ということであるのは疑う余地もない。それ故ライプニツがこの解析を以てデカルトの幾何学に代えることを要求した処から見ても彼の位置解析なるものと吾々の所謂位置解析（前を見よ）とは全く別のものでなければならぬ。次に又彼が質的と呼ぶ所以は私が向に定義したように計量を含まないということとは全く別であることもその「正確な計算」という言葉が充分に説明している。それは計量を含んでいる。量的幾何学でなければならない。デカルト幾何学に対して質的と呼ばれるのはデカルトに於ては尽すことの出来なかった幾何学の哲学的意味を明らかにしようと欲したからに過ぎぬであろう。ライプニツのこの理念を発展させたものと認められているグラースマンの　Ａｕｓｄｅｈｎｕｎｇｓｌｅｈｒｅ　に於ては、その広延量乃至は要素量が位置と量値を持つのである（Ｇｒａｓｓｍａｎｎ，　Ｇｅｏｍｅｔｒｉｓｃｈｅ　Ａｎａｌｙｓｅ．）。即ちこの場合の要素は質ではなくして明らかに量である。Ａｕｓｄｅｈｎｕｎｇｓｌｅｈｒｅ　が縦え座標というような偶然なもの（〔Ｗｉｌｌｋｕ：ｒｌｉｃｈｅｓ〕）を許さないにしてもなおそれは「解析の形式」を具えていなければならない（Ｇｒａｓｓｍａｎｎ，　Ａｕｓｄｅｈｎｕｎｇｓｌｅｈｒｅ　ｖｏｎ　１８４４，　Ｓ．　３９７）。更に又グラースマンの要素量がクラインの云うように（Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｍａｔｈｅｍａｔｉｋ　ｖ．　ｈ．　Ｓ－Ｐ．　ａｕｓ　Ｓ．　３３９）類同幾何学の対象に外ならないとすれば、類同幾何学が質的であるかそれとも量的であるかを見てライプニツの位置解析の蔽われた性質を検出することが出来ると思う。処が類同幾何学に於ては距離、角、円と楕円との区別、等の概念はない。即ち合同の公理は成立しないようにも見える。従ってそれは一応質的と考えられそうである。併し例えば射影幾何学に於ては無窮遠点なる概念が除外され得るのに反して茲では要素の有限と無限とは常に区別されなければ

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