､軛関係に立つのでなければ事実数学的認識は根本的には成り立たない。数学の基礎・背後にはいつも哲学があるのである。
　Ｐ・デュ・ボア・レモンは数学者を有限論者と無限論者との二陣営の哲学者に分類したが、有限無限の問題は、そして之と直接に結び付いて連続不連続の問題は、古来数学の根本概念＝範疇そのものに関係した問題であった。ところが有限無限・連続不連続とは、外でもない存在［＃「存在」に傍点］の［＃「外でもない存在［＃「存在」に傍点］の」は底本では「外でもない存［＃「い存」に傍点］在の」］形式的規定そのものではないか。ここで取り上げられるものは云わば形式的な存在の理論――存在論［＃「存在論」に傍点］――なのである。ここでは数学的範疇はもはや単に数学のものではなくて哲学のものとなる。
　古代に於ける無限主義・連続主義はアナクサゴラスによって、又有限主義・不連続主義はデモクリトスによって代表されたと云われるが、近世数学に於ける無限主義・連続主義はライプニツ又はニュートンの微分［＃「微分」に傍点］の概念によって確立されたと云って好い。微分の概念が有つ哲学的意味を近代に至って普遍的に指摘したのはコーエン一派のマルブルク学派であった。之に反して同じく近代に於て、有限主義・不連続主義の立場に立ちながらこの無限や連続を捉えようとしたのは、デーデキントとＧ・カントルとによる要素［＃「要素」に傍点］（Ｅｌｅｍｅｎｔ）の概念である。集合論はこの要素の概念から出発するのである。
　有限主義・不連続主義の系統は、Ｂ・ラッセルやクテュラの手を通って、ヒルベルトの公理主義［＃「公理主義」に傍点］乃至数学的形式主義［＃「数学的形式主義」に傍点］に到着し、無限主義・連続主義の系統はブローエルの直観主義［＃「直観主義」に傍点］に到着する。元来無限乃至連続の問題は「集合論の二律背反」とか「無限者の逆説」とか呼ばれている困難を持っているのであり、そしてこれ等の二律背反乃至逆説は数学的［＃「数学的」に傍点］「存在」の概念［＃「の概念」に傍点］に連関して生じて来るものであったが、形式主義は有限不連続な固定的なこの数学的存在――要素・数其他――から、一切の論理的・概念表現的・意味内容を捨象して、この存在を単なる記号［＃「記号」に傍点］にして了うことによって、今云った論理的［＃「論理的」に傍点］困難を脱しようと企てる。之に反して直観主義は、数学的存在の論理的［＃「論理的」に傍点］な概念が仮定する固定的存在［＃「固定的存在」に傍点］の思想を斥けて、数学的根本直観［＃「根本直観」に傍点］によって数を自由な生成［＃「自由な生成」に傍点］として把捉し、そうやってかの論理的［＃「論理的」に傍点］困難を解こうと試みる。だがその結果、直観主義は、形式論理の法則を悉くは承認出来なくなる、排中律の如きは破棄されねばならなくなるのである。
　エレア主義［＃「エレア主義」に傍点］とヘラクレイトス主義［＃「ヘラクレイトス主義」に傍点］とにまで還元出来るだろう数学に於けるこの二つの世界観［＃「世界観」に傍点］乃至存在論［＃「存在論」に傍点］は、だから実は直ちに論理学上［＃「論理学上」に傍点］の対立を意味している。形式論理学は、その一切の論理的意味内容を棄て去ることによって辛うじて形式論理学に踏み止まるか（形式主義――論理計算）、それでなければ形式論理学的法則の一部を棄て去らねばならぬ（直観主義）。数学は形式論理をあくまで固執するか、それでなければ先々のあてもなくこの形式論理の一部分を棄てねばならない。数学は云わば論理学的危機［＃「論理学的危機」に傍点］に立っているのである。
　この危機は併し元来例の二律背反乃至逆説の処理の仕方から結果したものに他ならなかった。この二律背反乃至逆説の論理的意味を検討し直すことによって、この危機を切り抜ける方針は見出されるべきだ。――処で二律背反なるものは、論理が論理以外のものを取り入れようとする関係を論理自身の側から名づけたものに外ならない。と云うのは、それは外でもない、弁証法［＃「弁証法」に傍点］を形式論理の側から局部的に名づけたものなのである（だからカントに於ても二律背反はその「弁証法」にぞくしている）。弁証法の本質は形式論理の側から見ると単なる矛盾［＃「矛盾」に傍点］としか写らないが、二律背反とは遂に解くべからざる一種の矛盾ではなかったか。
　文学的反省に於て逆説やアイロニーが弁証法的本質として一般的に捉えられていないのを常とするように、今の数学的認識に於ても、この二律背反が充分に弁証法的なものとして自覚されていなかった。そこから、かの数学の危機が発生して来たのである。数学の危機を解くには、少くとも、数学の認識に於ける形式論理学の仮定をすてて、弁証法的論理学を採用すれば�
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