力なる手懸りが発見されるのだ。そこが興味津々たるところだ。
すなわち、まず第一の手懸りは、乗数の十位の穴は、１であるということだ。なぜなれば、上から四段目を見ると、三桁の数であり、その百位は９に始まっている。しかるに被乗数を見ると、やはり三桁であり、百位の数字は９である。すると乗数の十位は１であらねばならぬことが分る。そうなると上から第一段目と第四段目とは同じ数である。そこで上のように穴を二つふさぐことができた。
９７□
× １８
――――――
□□□０
９７□
――――――
１７５□０
第二の手懸りは、乗数の一位の８を、被乗数の一位の□に掛けると、その答の一位は、８の字の下にあるとおり０となるのだ。そういう場合、□はどんな数字でもいいというわけには行かぬ。すなわち□は０か５かのどっちかであらねばならぬ。そうでないと第三段目の右端の数字は０とならない。
では、０か５か、どっちであるか。それを判定する段取に移る。
□は０ではない。なぜなら、第三段目は、７７６０ となり、第四段目は ９７０ でそれを加えると、第五段目のように １７５ 云々とはならず、１７４ 云々となって勘定が足りない。そこで被乗数の一位の□は、５であらねばならぬと決定する。
□を５として計算してみると、正しく右頁左下の如く、ちゃんと勘定が合うのである。
９７５
× １８
――――――
７８００
９７５
――――――
１７５５０
次は、割り算である。割り算は虫喰い算としての面白さを十分に備えている。すぐれた虫喰い算は、たいてい割り算の形をとっている。次にあげたのは、やさしい割り算の虫喰い算である。
【例題五】 この問題では、二桁の除数が穴になっているし、答も十位が穴だし、計算の中にも六箇所の穴があいている。
□３
＿＿＿＿
□□）９４９
□□
――――
□□９
□□９
――――
０
なおよく見るのに、肝腎の除数が全然不明であり、またその答も半分しか判明しておらず、これではどうにも手のつけようがない――ように思われる。
が、しばらく気を落着けて、じっとこの運算書を眺めていると、うまい手懸りがだんだんと見つかってくるのである。まず第一に除数の一位の穴が３であることに気がつく。そのわけはこうだ。除数に答の一位の数である３をかけたとき、その計算の一位の数は９となっている（上から五段目の右端）。つまり、３に或る数（除数の一位）をかけて、答の一位に９が出てくるためには、その或る数は３の外にないのだ。３３が９であるからだ。そこで上のように、穴を一つうめることができた。
□３
＿＿＿＿
□３）９４９
□□
――――
□□９
□□９
――――
０
さて次に、答の十位の数は、３よりも少い２か１かのどっちかであることに気がつく。なぜなれば、除数と答の一位をかけた計算は、上から五段目であって、三桁の数□□９ だ。ところが、上から三段目の、答の十位をかけた計算は□□となっていて二桁の数である。すなわち、答の十位の数は２か１かのどっちかに制限される。これで余程探求の範囲は狭くなった。
一方、除数の十位の□は、４か、４よりも大きい数でなければならぬことに気がつく。なぜなれば、上から五段目のところで、除数の□３に、答の一位の３をかけると、一位は９となる。次に除数の十位に答の一位の３をかけたものは、百位と十位との二桁ものとなるが、これは除数の十位の数が３以下では二桁とならない（つまり、３３が９や２３が６では二桁とならない。どうしても３４の１２［＃「１２」は縦中横］以上でなければならぬ）。そこで除数の十位の穴は、４か、４よりも大きい数だと分る。
そこで今度はもう一度、答の十位の計算、すなわち上から三段目へ戻る。前に述べたように、答の十位は１か２かの何れかである。ところが、これが２であっては、今しがた導き出したところの、「除数の十位の数は４以上」という関係がぶちこわされる。仮りにそれが最低数の４とすれば、答の十位の２をかけると ４３×２＝８６ となるから、被除数の９４［＃「９４」は縦中横］からこれを引くと、残りは８となって一桁となる。すなわち上から第四段目は□□９ とはならずして□９ の形となり、桁があわぬ。従って答の十位は１か２かということであったが、これは１であらねばならぬと確定する。さあこれで、大体解けた。今まで解けたところを穴に入れて書いてみると上のとおりになる。
１３
＿＿＿＿
□３）９４９
□３
――――
□１９
□１９
――――
０
これでみるとおり、答の十位が１と決まれば、第三段目の右端は当然３である。するとこの下は、４から３を引くのだから１であり、その１の下も、第六段目が０だから、同じく１であらねばならぬわけである。
第五段目に於いて、十位に１が出る計算で、３の倍数である謎の数字（すなわち除数の十位の数）は何か。順番はこの問題にうつる。これはすぐ分る。それは７である。３７の２１［＃「２１」は縦中横］であるからだ。よって除数の十位の数は、７だと分る。これで重要なところはすべて解けたわけである。念のために ７３×１３ で、果してこの計算がうまく合うかどうかやってみる。すると上に示すように十分満足することが分る。推理力万歳！ である。
１３
＿＿＿＿
７３）９４９
７３
――――
２１９
２１９
――――
０
やさしい問題の解き方はこのぐらいにして、次はもっとむつかしいものの解き方を二つ三つごらんに入れることにする。
３ 高級な虫喰い算とその解き方
高級だといっても、解き方の根本に別にかわったことがあるわけではない。ただむつかしい点は――従って大いに興味のある点は――どこに手懸りが隠されているか、どこから解き始めたら一番うまく行くかというところにある。すぐれた宝玉のような問題は、このように鍵の隠し場所が極めて意外なところにあり、そしてそれにぶつかって解くと、あとは全部ががらがらがらと崩れるように解けて行くようなのを指していうのだ。
それを解きにかかる皆さんは、名探偵の明智小五郎か、シャーロック・ホームズか、それともファイロバンズか、エラリー・クイーンか、とにかくせいぜい智能をふるわれたい。
そこで例題の解説にうつる。
【例題六】 これは「覆面算」である。いろいろなアルファベットが並んでいるが、これはもちろん二十六種の文字が並べてあるわけではなく、皆で十種しかない。つまりＣＭＬＱＴＰＡＩＮＳの十種である。この十種の覆面者のどれが１２３４５６７８９０のどれであるかを、これから推理でもって探偵しようというわけである。
ＱＣＮ
＿＿＿＿＿＿
ＣＭＬ）ＱＴＰＡＩ
ＱＩＳ
―――――
ＱＰＡ
ＣＭＬ
――――
ＣＣＣＩ
ＣＳＮＳ
――――
ＭＩ
ちょいと見たところでは、何が何だか見当がつかず、まるで突然火星国へ不時着したような当惑を感じ、取りつく島もなさそうに思われる。しかし、いつもいうとおりに、名探偵らしくじっくりこれを観察していれば、やがて秘密の扉を開くべきすばらしき鍵を発見することができ、思わずにっこり微笑まるることであろう。
さて、いよいよこの覆面算の探偵に移ろう。
名探偵が、第一に目をつけたところは、上から五段目の ＣＭＬ である。これは除数である ＣＭＬ と全く同じではないか。大発見、大発見！
然らば、この五段目の計算を導くに至った答の十位の数Ｃは１であらねばならぬ。そうですねえ。すなわち計算の中のＣを悉《ことごと》く１に書き改めて、上の如くに整理をする。
Ｑ１Ｎ
＿＿＿＿＿＿
１ＭＬ）ＱＴＰＡＩ
ＱＩＳ
―――――
ＱＰＡ
１ＭＬ
――――
１１１Ｉ
１ＳＮＳ
――――
ＭＩ
さあ、こんどはどこに第二の鍵を発見すべきであろうか。うん、これだ。三段目の右端のＳが曲者である。このＳの上はＰである。またこのＳの下も同じＰである。ＰからＳを引いて答はＰだ。Ｐ−Ｓ＝Ｐ。これは変な関係だ。いや変ではない。こういう関係はＳが０のときのみに成立つ。これでいい。第二の鍵はこのＳが０であることだった。
そこで運算書の中のＳを０として再び書き改める。これで大分明るくなった。
いや、まだ安心するのは早い。前途にどんな難関が横たわっているか分らない。
Ｑ１Ｎ
＿＿＿＿＿＿
１ＭＬ）ＱＴＰＡＩ
ＱＩ０
―――――
ＱＰＡ
１ＭＬ
――――
１１１Ｉ
１０Ｎ０
――――
ＭＩ
いよいよ第三の鍵の発見に掛る。さあ、それはどこにあるか。今度はなかなか手ごわい。ほほう、これは気がつかなかった。これらしいぞ、第三の鍵は！
今求めた三段目の「Ｓは０なり」のところであるが、ここに０を書き入れたについては、除数の一位の数のＬと答の百位の数のＱをかけた結果である。つまりＬとＱとかけて、その答の一位が０となったのである。そういう場合は、ＬとＱとのいずれかが５であり、他の数が偶数でなければならぬ。（誰です、ＬかＱが０の場合でもいいじゃないかといった方は……。０は既に出ていますよ。Ｓは０であると、さっき導き出したばかりです）――さて、これだけでは決定的でないが、もう一つ目をつけるべきところがある。それは七段目の右端の数字も、同じく０であることだ。この０は、除数のＬと、答の一位の数のＮとを掛け合わせた結果出てきたのである。するとさっきと同じ理窟から、ＬとＮとのどっちかが５であり、偶数であらねばならぬこととなる。
そこでＬが５であることが確定される。なぜなれば、前にはＬとＱのいずれかが５か偶数かとあり、今またＬとＮのいずれかが５か偶数かとなったからには、この両条件を共通に満足すべき答としては、Ｌが５である場合しかない（また聞えましたよ、誰ですか。Ｌが偶数であってもいいではないかといいましたね。とんでもないことです。Ｌが偶数なら、初めの条件によりＱは５となります。すると後の条件のとき、つまりＬとＮのいずれかが５であり偶数であるというときには困ってしまうではありませんか）。とにかくこうしてＬは５、そしてＱとＮとは偶数だということが分った。早速これを書き入れると上のようになる。
Ｑ１Ｎ
＿＿＿＿＿＿
１Ｍ５）ＱＴＰＡＩ
ＱＩ０
―――――
ＱＰＡ
１Ｍ５
――――
１１１Ｉ
１０Ｎ０
――――
ＭＩ
このへんで貴君が「虫喰い算て面白いなあ」と心臓をどきどきされたとしたら、それは既に虫喰い算の「鬼」が貴君にのり移ったことの証拠である。一旦この「鬼」にとりつかれたら、お気の毒ながら（？）、貴君はもう一生涯、虫喰い算のファンとして離れられなくなる。決して嚇《おど》かすわけではないが、事実がそうだから仕方がない。
余計な話はやめて、次へ進む。第四の鍵はどこにあるか。四段目のＱであるが、この下に１がある。その下にも１がある。するとＱから１を引いて１が出たわけだ。するとＱは１と１との和の２であるか、それともＱは下位へ１を貸してあって、本当は３であるかもしれないと臆測される。つまりＱは２又は３であらねばならぬと。ところが、どっこい、Ｑは２であらねばならぬ。３であることは許されない。なぜならば、ＱとＮとは共に偶数なりと、さっき決定したばかりだから。
２１Ｎ
＿＿＿
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