ｊｕｎｋｔｉｅｒｅｎ）されることはこの分類が到底必然的でないことを示しているものに外ならない。更に又群による分類法は例えば射影幾何学から出発して一切の幾何学をその　Ｍｏｄｉｆｉｋａｔｉｏｎ　として導き出す方法に外ならないが、一切の幾何学が射影幾何学であるならばそこには何の分類も与えられはしない。一切の幾何学が或る一つの幾何学に帰するということは幾何学の分類とは問題が別である。射影幾何学に於けるこの関係は反径幾何学（Ｇｅｏｍｅｔｒｉｅ　ｄｅｒ　ｒｅｚｉｐｒｏｋｅｎ　Ｒａｄｉｅｎ）に就いても全く同様に指摘されると思う（〔Ｆ．　Ｋｌｅｉｎ，　Ｖｅｒｇｌｅｉｃｈｅｎｄｅ　Ｂｅｔｒａｃｈｔｕｎｇｅｎ　ｕ：ｂｅｒ　ｎｅｕｅｒｅ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｓｃｈｅ　Ｆｏｒｓｃｈｕｎｇｅｎ，　§６，　７〕　参照）。こういう理由からしてクラインの試みた分類法はそのどの着眼点に於ても本質的であったと云われないであろう。併しこのことはこの分類方法が数学自身に於ても本質的ではないということを意味するのでは決してない。数学者は幾何学を論じるに当って幾何学以外の数学の眼を以て之を見る着想の自由が与えられていなければならぬ。ただ私の問題は幾何学が他の数学から区別される処の特徴を見出すことそのことであるのを忘れてはならない。それ故このような麗しい分類法も数学のテクニックに属するのであって、吾々がそれから直接には得る処が少いということは当然であると云わねばならぬ。
　解析的に対するものは総合的である。今総合判断一般と数学的総合判断との区別は後者の基に公理が潜んでいるという点にある。幾何学を総合的に取り扱って分類するにはそれ故各々の幾何学の基礎に如何なる公理が横たわっているかを見定めることが最も正当な道であると云わなければならない。ヒルベルトはその『幾何学の基礎』に於て、結合、順序、合同、平行及び連続の五つの公理群を区別した。私はまずこの公理群に依って幾何学の一応の分類を試みようと思う。連続の公理にはヒルベルトによればアルキメデス公理と完備の公理とが含まれ両者を合せれば所謂デーデキント公理を得る（Ｓ．　２３）。この公理の上に立つ幾何学はリーマンに始まりクライン等によって発展された位置解析（Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｓｉｔｕｓ，　Ｔｏｐｏｌｏｇｉｅ）に外ならないと普通云われている。線、面、立体等の結合（Ｃｏｎｎｅｘｕｓ）及び切断（Ｃｏｎｐｕｒｅ）の関係は凡ゆる一対一の連続的変換即ちあらゆる　Ｖｅｒｚｅｒｒｕｎｇ　に対して不変に残されるべき性質をもつものである。かかる性質をその対象とするものが位置解析に外ならない。即ち図形に於て縁の数をμ、面を分割しない回線の数をρとすれば、μとρはこのような変形に関らず自らを不変に維持する。今　［＃ここから横組み］２ρ＋μ［＃ここで横組み終わり］　をこの面の結合度と定義すれば、あらゆる空間形象はこの結合度を標準として順序づけられる筈である。今もし形象の面の数をＦ、頂点の数をＥ、稜の数をＫとすれば、位置解析の定理は［＃式（ｆｉｇ４３２６３＿０３．ｐｎｇ）入る］なる関係として云い表わされるものでなければならぬ。然るにこの形の定理は普通吾々が表象する裏表を有つ面に就いてのみ妥当し、例えばメービウスの多面体のような図形に於ては行なわれないことを注意したい。即ち或る図形に就いて他の幾何学的見地からして決して問題とはなり得ない処の区別、一側面と二側面との区別が茲では重大な問題となって現われるのを見る。以上の性質は位置解析が他のあらゆる初等幾何学にも先だち且つ何かの意味に於て――その意味は後に明らかとなる――特別の位置を占める幾何学である、ということを暗示するものと云ってよいであろう（〔Ｋｌｅｉｎ，　Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｍａｔｈｅｍａｔｉｋ　ｖ．　ｈ．　Ｓ−Ｐ．　ａｕｓ　Ｓ．　２３７　ｆｆ．；　Ｒｉｅｍａｎｎ，　Ｄｉｅ　ｉｎａｕｇｕｒａｌｅ　Ｄｉｓｓｅｒｔａｔｉｏｎ　ｚｕ　Ｇｏ：ｔｔｉｎｇｅｎ，　ｅｔｃ．〕）。次に結合の公理と順序の公理の上に立つものは射影幾何学である。普通之に連続の公理が加えられるのであるがヴェブレン・ヤングなどが　ｒａｔｉｏｎａｌ　ｓｐａｃｅ　を考えたような意味に於て連続を解するならばこの公理は不必要となる（Ｖｅｂｌｅｎ−Ｙｏｕｎｇ，　Ｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅ　Ｇｅｏｍｅｔｒｙ，　Ｉ．　ｐ．　９９　ｆｆ．）。併し茲には後に触れるであろう問題が含まれていることだけを注意しよう。さて点、直線、平面等の要素に於て、低次の二つの要素が一つの高次の要素を決定すること、例えば二点が一直線を決定すること、を射影と名づけ、高次の二つの要素が一つの低次の要素を決定すること、例えば二平面が一直線に於て交わること、を截断と名づけるならば、射影幾何学とはかかる射影並びに截
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